Démonstration du théorème de Lagrange est un concept fondamental dans l’analyse mathématique et une clé essentielle pour comprendre de nombreux problèmes en calcul différentiel et en optimisation. Cet article explore de manière approfondie la démonstration de ce théorème avec des détails complets adaptés au niveau supérieur de la faculté.
Enoncé du théorème
Le théorème de Lagrange, également connu sous le nom de théorème des accroissements finis, stipule :
Soit une fonction \( f(x) \) continue sur un intervalle fermé \([a, b]\) et dérivable sur l’intervalle ouvert \((a, b)\). Alors, il existe un point \( c \in (a, b) \) tel que :
\[ f'(c) = \frac{f(b) – f(a)}{b – a}. \]Cela signifie que la pente de la tangente à la courbe de \( f \) en \( c \) est égale à la pente de la droite passant par les points \((a, f(a))\) et \((b, f(b))\).
Démonstration du théorème de Lagrange
Pour démontrer ce théorème, nous suivons les étapes suivantes :
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Étape 1 : Vérification des hypothèses
La fonction \( f \) est continue sur \([a, b]\) et dérivable sur \((a, b)\). Ces conditions garantissent que nous pouvons appliquer le théorème de Rolle, qui est un cas particulier du théorème de Lagrange.
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Étape 2 : Construction d’une fonction auxiliaire
Nous définissons une fonction auxiliaire \( g(x) = f(x) – \left( \frac{f(b) – f(a)}{b – a} \cdot x \right) \). Cette fonction est choisie de manière à ce que \( g(a) = g(b) \), ce qui permet d’appliquer le théorème de Rolle.
Calculons \( g(a) \) et \( g(b) \) :
\[ g(a) = f(a) – \left( \frac{f(b) – f(a)}{b – a} \cdot a \right), \] \[ g(b) = f(b) – \left( \frac{f(b) – f(a)}{b – a} \cdot b \right). \]On constate que \( g(a) = g(b) \).
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Étape 3 : Application du théorème de Rolle
Selon le théorème de Rolle, puisque \( g \) est continue sur \([a, b]\), dérivable sur \((a, b)\), et que \( g(a) = g(b) \), il existe un point \( c \in (a, b) \) tel que \( g'(c) = 0 \).
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Étape 4 : Calcul de \( g'(x) \)
La dérivée de \( g(x) \) est donnée par :
\[ g'(x) = f'(x) – \frac{f(b) – f(a)}{b – a}. \]En posant \( g'(c) = 0 \), nous obtenons :
\[ f'(c) = \frac{f(b) – f(a)}{b – a}. \]
La démonstration est ainsi complète, montrant que la pente de la tangente à \( f \) en \( c \) correspond à la pente de la corde reliant les extrémités \((a, f(a))\) et \((b, f(b))\).
Pour explorer des applications du théorème dans les domaines de l’analyse ou de l’optimisation, consultez des ressources avancées comme arXiv ou MathWorld.
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