La démonstration du théorème de Fermat par Andrew Wiles représente une avancée majeure en mathématiques. Elle utilise des outils sophistiqués comme la géométrie algébrique et la théorie des nombres modernes. Examinons les étapes principales de cette démonstration.
Enoncé du théorème
Le théorème de Fermat énonce qu’il n’existe pas d’entiers positifs \(x, y, z\) tels que :
\[ x^n + y^n = z^n \]
pour tout entier \(n > 2\).
Démonstration du théorème de Fermat
La démonstration repose sur deux idées principales :
1. La conjecture de Taniyama-Shimura-Weil : Cette conjecture relie les courbes elliptiques aux formes modulaires. Plus précisément, elle affirme que toute courbe elliptique peut être associée à une forme modulaire.
Illustration d’une courbe elliptique.
2. La réduction au cas impossible : Wiles a montré que si une solution \(x^n + y^n = z^n\) existait pour \(n > 2\), elle correspondrait à une courbe elliptique qui n’est pas modulaire. Or, la conjecture de Taniyama-Shimura-Weil (prouvée dans ce contexte) implique que toutes les courbes elliptiques sont modulaires. Cela crée une contradiction.
Voici les étapes en détail :
Étape 1 : Formuler le problème en termes de courbes elliptiques. Si \(x, y, z\) étaient une solution, on pourrait construire une courbe elliptique spéciale associée, appelée « courbe de Frey ».
Étape 2 : Appliquer la conjecture de Taniyama-Shimura-Weil. Cette conjecture affirme que chaque courbe elliptique est modulaire, c’est-à-dire qu’elle correspond à une forme modulaire spécifique.
Étape 3 : Prouver que la courbe de Frey ne peut pas être modulaire. Cela implique que les solutions \((x, y, z)\) pour \(n > 2\) ne peuvent pas exister, car elles violeraient la conjecture de Taniyama-Shimura-Weil.
Le travail de Wiles a impliqué des concepts complexes tels que :
- Les représentations galoisiennes associées aux courbes elliptiques.
- Des techniques de déformation pour étendre des résultats partiels à des cas généraux.
Courbe modulaire associée à la conjecture de Taniyama-Shimura-Weil.
Pour des ressources supplémentaires sur les concepts de cette démonstration, explorez les courbes elliptiques ou les formes modulaires.
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