La démonstration du théorème de Pythagore est un pilier fondamental des mathématiques, illustrant la relation entre les longueurs des côtés d’un triangle rectangle. Ce théorème joue un rôle essentiel dans de nombreuses branches des mathématiques et des sciences appliquées.
Enoncé du théorème
Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Si nous nommons ces côtés a, b (côtés perpendiculaires) et c (hypoténuse), alors nous avons :
\[ c^2 = a^2 + b^2 \]
Illustration d’un triangle rectangle avec ses dimensions.
Démonstration du théorème de Pythagore
La démonstration peut être réalisée de plusieurs manières. Ici, nous utilisons une approche géométrique basée sur les aires :
Considérons un carré de côté \((a + b)\), subdivisé en un grand carré central (de côté \(c\)) et quatre triangles rectangles identiques :
\[ \text{Aire totale du carré} = (a+b)^2 \]
Cette aire peut aussi être calculée comme suit :
\[ \text{Aire totale du carré} = c^2 + 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \]
En développant les deux expressions :
\[ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]
En mettant les deux expressions égales :
\[ a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab \]
Après simplification :
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]
Cela prouve le théorème de Pythagore.
Illustration de la démonstration géométrique.
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