Un endomorphisme est une application linéaire d’un espace vectoriel dans lui-même. Les endomorphismes sont essentiels en algèbre linéaire pour comprendre les transformations linéaires internes, les matrices associées et les valeurs propres.
Endomorphisme
Soit \( V \) un espace vectoriel sur un corps \( \mathbb{K} \). Une application \( f : V \to V \) est un endomorphisme si elle est linéaire, c’est-à-dire si :
1. \( f(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = f(\mathbf{u}) + f(\mathbf{v}) \quad \forall \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V \)
2. \( f(c\mathbf{u}) = c f(\mathbf{u}) \quad \forall \mathbf{u} \in V, \, c \in \mathbb{K} \)
Par exemple, \( f(x, y) = (2x, 3y) \) est un endomorphisme de \( \mathbb{R}^2 \).
Exemples sur l’Endomorphisme
1. Considérons \( f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \), définie par \( f(x, y) = (x + y, y) \). Cette fonction est un endomorphisme car elle respecte : \[ f((x_1, y_1) + (x_2, y_2)) = f(x_1 + x_2, y_1 + y_2) = (x_1 + x_2 + y_1 + y_2, y_1 + y_2) \] \[ = (x_1 + y_1, y_1) + (x_2 + y_2, y_2) = f(x_1, y_1) + f(x_2, y_2) \] 2. La transformation identité \( \text{Id} : V \to V \) définie par \( \text{Id}(\mathbf{v}) = \mathbf{v} \) est un endomorphisme trivial.
Propriétés
- Le noyau \( \ker(f) \) et l’image \( \text{Im}(f) \) d’un endomorphisme sont des sous-espaces vectoriels de \( V \).
- Un endomorphisme est inversible si et seulement si \( \ker(f) = \{0\} \).
- Les endomorphismes de \( V \) forment un espace vectoriel noté \( \text{End}(V) \).
- Les valeurs propres d’un endomorphisme sont les scalaires \( \lambda \in \mathbb{K} \) tels que \( f(\mathbf{v}) = \lambda \mathbf{v} \) pour un \( \mathbf{v} \neq 0 \).
- Un endomorphisme peut être représenté par une matrice dans une base donnée.
Méthodes sur l’Endomorphisme
Pour travailler avec un endomorphisme \( f : V \to V \) :
- Vérifiez les propriétés de linéarité.
- Représentez \( f \) à l’aide d’une matrice dans une base donnée.
- Analysez les valeurs propres et les vecteurs propres pour comprendre la structure de \( f \).
Des ressources comme Symbolab ou GeoGebra peuvent vous aider à manipuler des endomorphismes.
Exercices pour s’entraîner
Exercice Moyenne :
- Montrez que la transformation \( f(x, y) = (x + 2y, y) \) est un endomorphisme.
- Représentez \( f(x, y, z) = (x + y, 2y, z) \) sous forme matricielle.
Exercice Difficile :
- Prouvez que le noyau d’un endomorphisme est un sous-espace vectoriel.
- Calculez les valeurs propres de \( f(x, y) = (3x, -2y) \) sur \( \mathbb{R}^2 \).
Tester Vos Connaissances
Ce quiz interactif vous permettra de tester vos connaissances sur les endomorphismes et leurs propriétés.
