L’inverse d’une matrice 3×3 est un outil essentiel en algèbre linéaire pour résoudre des systèmes linéaires, calculer des transformations inverses et analyser des propriétés matricielles. Une matrice carrée possède un inverse uniquement si elle est non singulière (c’est-à-dire si son déterminant est non nul).
Inverse d’une Matrice 3×3
Soit \( A \) une matrice \( 3 \times 3 \). L’inverse \( A^{-1} \) est définie comme suit :
\[ A \cdot A^{-1} = I_3 \]
où \( I_3 \) est la matrice identité \( 3 \times 3 \). Pour calculer \( A^{-1} \), on utilise la formule suivante :
\[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{Adj}(A) \]
où \( \det(A) \) est le déterminant de \( A \), et \( \text{Adj}(A) \) est la matrice adjointe obtenue en prenant les cofacteurs de \( A \).
Exemples sur l’Inverse d’une Matrice 3×3
Considérons la matrice suivante :
\[ A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \]
1. Calculons son déterminant : \[ \det(A) = 2\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} – (-1)\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} + 0\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = 2(2 – (-3)) + 1(1 – 0) = 10 \] 2. Calculons la matrice adjointe \( \text{Adj}(A) \). Après calcul des cofacteurs : \[ \text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 5 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & -1 \\ 1 & 3 & 5 \end{pmatrix} \] 3. L’inverse est donné par : \[ A^{-1} = \frac{1}{10} \begin{pmatrix} 5 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & -1 \\ 1 & 3 & 5 \end{pmatrix} \]
Propriétés
- Une matrice \( A \) possède un inverse si et seulement si \( \det(A) \neq 0 \).
- \( (A^{-1})^{-1} = A \).
- Si \( A \) et \( B \) sont inversibles, alors \( (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} \).
- La transposée de l’inverse est l’inverse de la transposée : \( (A^{-1})^T = (A^T)^{-1} \).
Méthodes sur l’Inverse d’une Matrice 3×3
Pour calculer l’inverse d’une matrice \( A \) :
- Calculez le déterminant de \( A \). Si \( \det(A) = 0 \), \( A \) n’est pas inversible.
- Calculez la matrice des cofacteurs de \( A \).
- Transposez la matrice des cofacteurs pour obtenir \( \text{Adj}(A) \).
- Utilisez la formule \( A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{Adj}(A) \).
Des outils comme NumPy ou MATLAB permettent de calculer rapidement l’inverse de matrices.
Exercices pour s’entraîner
Exercice Moyenne :
- Calculez l’inverse de la matrice suivante si elle est inversible : \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix} \]
- Vérifiez que \( A \cdot A^{-1} = I_3 \) pour : \[ A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \]
Exercice Difficile :
- Prouvez que si \( A \) est inversible, alors \( (A^{-1})^T = (A^T)^{-1} \).
- Calculez l’inverse de : \[ B = \begin{pmatrix} 4 & 7 & 2 \\ 0 & 5 & 6 \\ 3 & 8 & 9 \end{pmatrix} \] en utilisant la méthode des cofacteurs.
Tester Vos Connaissances
Ce quiz interactif vous permettra de tester vos connaissances sur l’inverse des matrices \( 3 \times 3 \).
