Une matrice triangulaire supérieure est une matrice carrée où tous les éléments situés en dessous de la diagonale principale sont nuls. Ce type de matrice est largement utilisé en algèbre linéaire pour simplifier les calculs, notamment lors de la résolution de systèmes linéaires et dans la décomposition LU.
Matrice Triangulaire Supérieure
Une matrice carrée \( U \) de taille \( n \times n \) est dite triangulaire supérieure si :
\[ u_{ij} = 0 \quad \text{pour tout } i > j \]
Par exemple, une matrice \( U \) de taille \( 3 \times 3 \) est triangulaire supérieure si elle a la forme suivante :
\[ U = \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ 0 & u_{22} & u_{23} \\ 0 & 0 & u_{33} \end{pmatrix} \]
Exemples sur la Matrice Triangulaire Supérieure
Considérons les matrices suivantes :
\[ U_1 = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}, \quad U_2 = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 7 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]
Ces matrices sont triangulaires supérieures car tous leurs éléments situés en dessous de la diagonale principale sont nuls.
Propriétés
- Le produit de deux matrices triangulaires supérieures est une matrice triangulaire supérieure.
- Le déterminant d’une matrice triangulaire supérieure est le produit des éléments de sa diagonale principale :
- Une matrice triangulaire supérieure est inversible si et seulement si tous les éléments de sa diagonale principale sont non nuls.
- La résolution de systèmes linéaires est simplifiée avec une matrice triangulaire supérieure en utilisant la méthode de substitution arrière.
\[ \det(U) = \prod_{i=1}^n u_{ii} \]
Méthodes sur la Matrice Triangulaire Supérieure
Pour vérifier qu’une matrice \( A \) est triangulaire supérieure :
- Vérifiez que tous les éléments \( a_{ij} \) avec \( i > j \) sont nuls.
- Calculez le déterminant pour vous assurer que la matrice est inversible si nécessaire.
Des outils comme NumPy ou MATLAB permettent de manipuler facilement des matrices triangulaires supérieures.
Exercices pour s’entraîner
Exercice Moyenne :
- Vérifiez si la matrice suivante est triangulaire supérieure : \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix} \]
- Calculez le déterminant de : \[ U = \begin{pmatrix} 3 & 5 & 1 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \]
Exercice Difficile :
- Montrez que le produit de deux matrices triangulaires supérieures est toujours triangulaire supérieure.
- Résolvez le système \( Ux = b \), où : \[ U = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \\ 6 \end{pmatrix} \]
Tester Vos Connaissances
Ce quiz interactif vous permettra de tester vos connaissances sur les matrices triangulaires supérieures.
