La matrice identité est une matrice carrée qui joue le rôle d’élément neutre pour le produit matriciel. Elle est largement utilisée en algèbre linéaire, notamment pour les transformations linéaires et les systèmes d’équations.
Matrice Identité
La matrice identité \( I_n \) de dimension \( n \times n \) est définie comme une matrice diagonale dont les éléments sur la diagonale principale sont égaux à 1, et tous les autres éléments sont égaux à 0. Formellement :
\[ I_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix} \]
Pour une matrice \( A \) de dimension \( n \times n \), le produit avec la matrice identité satisfait : \[ A \cdot I_n = I_n \cdot A = A \]
Exemples sur la Matrice Identité
Considérons la matrice identité \( I_3 \) de dimension \( 3 \times 3 \) :
\[ I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]
Pour une matrice \( A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \), nous avons :
\[ A \cdot I_2 = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \]
Le produit \( A \cdot I_2 \) est identique à \( A \), illustrant ainsi le rôle neutre de la matrice identité.
Propriétés
- La matrice identité est une matrice diagonale avec des 1 sur la diagonale principale.
- Pour toute matrice \( A \) carrée, \( A \cdot I_n = I_n \cdot A = A \).
- La matrice identité est sa propre inverse : \( I_n^{-1} = I_n \).
- Pour une matrice quelconque \( A \) de dimensions compatibles, \( I_m \cdot A = A \) et \( A \cdot I_n = A \).
Méthodes sur la Matrice Identité
Pour générer une matrice identité \( I_n \) de dimension \( n \times n \) :
- Initialisez une matrice \( n \times n \) avec des zéros.
- Assignez la valeur 1 à tous les éléments \( a_{ii} \) où \( i = j \).
Des outils comme NumPy ou MATLAB permettent de créer rapidement des matrices identité en utilisant des commandes intégrées comme `np.eye(n)` ou `eye(n)`.
Exercices pour s’entraîner
Exercice Moyenne :
- Montrez que \( A \cdot I_3 = A \) pour la matrice suivante : \[ A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & 4 \\ 1 & 5 & 7 \end{pmatrix} \]
- Calculez le produit \( I_2 \cdot B \), où : \[ B = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \]
Exercice Difficile :
- Montrez que la matrice identité est son propre inverse : \( I_n \cdot I_n = I_n \).
- Prouvez que \( A \cdot I_n = A \) même si \( A \) n’est pas carrée (en respectant les dimensions).
Tester Vos Connaissances
Ce quiz interactif vous permettra de tester vos connaissances sur les matrices identité.
