La matrice produit représente le résultat de la multiplication de deux matrices. Ce concept est essentiel en algèbre linéaire et se trouve au cœur de nombreuses applications, notamment dans les transformations linéaires et les systèmes d’équations matricielles.
Matrice Produit
Le produit de deux matrices \( A \) et \( B \) est défini si et seulement si le nombre de colonnes de \( A \) est égal au nombre de lignes de \( B \). Si \( A \) est de dimension \( m \times n \) et \( B \) est de dimension \( n \times p \), leur produit \( C = AB \) est une matrice de dimension \( m \times p \). Les éléments de \( C \) sont donnés par :
\[ c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj} \]
Exemples sur la Matrice Produit
Prenons deux matrices \( A \) et \( B \) :
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \]
Le produit \( AB \) est calculé comme suit :
\[ AB = \begin{pmatrix} (1)(2) + (2)(1) & (1)(0) + (2)(3) \\ (3)(2) + (4)(1) & (3)(0) + (4)(3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 10 & 12 \end{pmatrix} \]
Ainsi, le produit \( AB \) donne une nouvelle matrice de dimension \( 2 \times 2 \).
Propriétés
- La matrice produit n’est pas commutative en général, c’est-à-dire que \( AB \neq BA \).
- Le produit matriciel est associatif : \( (AB)C = A(BC) \).
- Le produit matriciel est distributif : \( A(B + C) = AB + AC \).
- Si \( A \) ou \( B \) est une matrice nulle, alors \( AB \) est une matrice nulle.
- Le produit de la matrice identité avec une autre matrice \( A \) donne \( A \) : \( I A = A I = A \).
Méthodes sur la Matrice Produit
Pour multiplier deux matrices \( A \) et \( B \) :
- Assurez-vous que le nombre de colonnes de \( A \) est égal au nombre de lignes de \( B \).
- Calculez chaque élément \( c_{ij} \) en effectuant le produit scalaire entre la \( i \)-ème ligne de \( A \) et la \( j \)-ème colonne de \( B \).
Des outils comme NumPy ou MATLAB peuvent effectuer efficacement des produits matriciels pour des matrices de grande dimension.
Exercices pour s’entraîner
Exercice Moyenne :
- Calculez \( AB \), où : \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \]
- Vérifiez si \( AB = BA \) pour les matrices : \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \]
Exercice Difficile :
- Montrez que si \( A \) est une matrice \( n \times n \), alors \( A^2 = A \) implique que \( A \) est idempotente.
- Prouvez que \( AB \) est inversible si \( A \) et \( B \) sont toutes deux inversibles, et montrez que \( (AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1} \).
Tester Vos Connaissances
Ce quiz interactif vous permettra de tester vos connaissances sur les produits matriciels.
