Une matrice diagonalisable est une matrice carrée qui peut être transformée en une matrice diagonale à l’aide d’une base de vecteurs propres. Ce concept est fondamental en algèbre linéaire et trouve des applications dans les sciences, les mathématiques et l’ingénierie.
Matrice Diagonalisable
Une matrice carrée \( A \) de dimension \( n \times n \) est dite diagonalisable s’il existe une matrice inversible \( P \) et une matrice diagonale \( D \) telles que :
\[ A = P D P^{-1} \]
Les colonnes de \( P \) sont les vecteurs propres de \( A \), et les éléments diagonaux de \( D \) sont les valeurs propres correspondantes.
Exemples sur la Matrice Diagonalisable
Prenons la matrice suivante :
\[ A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \]
Les valeurs propres de \( A \) sont \( \lambda_1 = 5 \) et \( \lambda_2 = 2 \). Les vecteurs propres associés sont :
\[ v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} \]
La matrice de passage est \( P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \), et la matrice diagonale \( D \) est donnée par : \[ D = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \] Ainsi, \( A \) est diagonalisable.
Propriétés
- Une matrice diagonalisable a une base de vecteurs propres linéairement indépendants.
- Si les \( n \) valeurs propres d’une matrice \( A \) sont distinctes, alors \( A \) est diagonalisable.
- Les matrices symétriques sont toujours diagonalisables.
- Le déterminant et la trace de \( A \) sont respectivement égaux au produit et à la somme des éléments diagonaux de \( D \).
Méthodes sur la Matrice Diagonalisable
Pour vérifier si une matrice est diagonalisable :
- Calculez les valeurs propres de la matrice.
- Trouvez les vecteurs propres associés.
- Vérifiez que le nombre de vecteurs propres linéairement indépendants est égal à la dimension de la matrice.
Des outils comme NumPy ou MATLAB peuvent aider à effectuer ces calculs.
Exercices pour s’entraîner
Exercice Moyenne :
- Vérifiez si la matrice suivante est diagonalisable : \[ A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \]
- Trouvez les valeurs propres et les vecteurs propres de : \[ B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \]
Exercice Difficile :
- Prouvez que toute matrice symétrique réelle est diagonalisable.
- Montrez que \( A \) est diagonalisable si et seulement si \( A^T \) est diagonalisable.
Tester Vos Connaissances
Ce quiz interactif vous aidera à tester vos connaissances sur les matrices diagonalisables.
