Une matrice antisymétrique est une matrice carrée dont les éléments vérifient la relation \( a_{ij} = -a_{ji} \) pour tous les indices \( i \) et \( j \). Ce type de matrice joue un rôle clé en algèbre linéaire et en physique théorique, notamment dans l’étude des rotations et des transformations.
Matrice Antisymétrique
Une matrice carrée \( A \) est dite antisymétrique si elle satisfait la propriété :
\[ A^T = -A \]
Cela signifie que les éléments diagonaux de la matrice sont tous nuls (\( a_{ii} = 0 \)) et que les éléments hors diagonale sont opposés par rapport à la diagonale principale (\( a_{ij} = -a_{ji} \)).
Exemples sur la Matrice Antisymétrique
Considérons la matrice suivante :
\[ A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & -3 \\ -2 & 0 & 5 \\ 3 & -5 & 0 \end{pmatrix} \]
Cette matrice est antisymétrique car : \[ A^T = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 3 \\ 2 & 0 & -5 \\ -3 & 5 & 0 \end{pmatrix} = -A \]
Un autre exemple est la matrice nulle, qui est triviale mais antisymétrique par définition : \[ O = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
Propriétés
- Les éléments diagonaux d’une matrice antisymétrique sont toujours nuls.
- La somme de deux matrices antisymétriques est également antisymétrique.
- Le produit scalaire \( cA \) d’une matrice antisymétrique \( A \) reste antisymétrique.
- Pour une matrice antisymétrique \( A \), \( x^T A x = 0 \) pour tout vecteur \( x \).
- Une matrice antisymétrique \( A \) de taille impaire a un déterminant nul.
Méthodes sur la Matrice Antisymétrique
Pour vérifier qu’une matrice est antisymétrique :
- Calculez la transposée de la matrice.
- Vérifiez si \( A^T = -A \).
- Assurez-vous que tous les éléments diagonaux sont nuls.
Des outils comme NumPy ou MATLAB peuvent automatiser ces calculs.
Exercices pour s’entraîner
Exercice Moyenne :
- Vérifiez si la matrice suivante est antisymétrique : \[ B = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & -3 \\ -2 & 3 & 0 \end{pmatrix} \]
- Montrez que la matrice nulle est antisymétrique.
Exercice Difficile :
- Prouvez que le produit \( AB \) de deux matrices antisymétriques \( A \) et \( B \) n’est pas nécessairement antisymétrique.
- Pour une matrice antisymétrique \( C \) de taille impaire, démontrez que \( \det(C) = 0 \).
Tester Vos Connaissances
Ce quiz interactif vous permettra de tester vos connaissances sur les matrices antisymétriques.
