Une matrice de passage est utilisée pour effectuer un changement de base dans un espace vectoriel. Elle permet de transformer les coordonnées d’un vecteur d’une base à une autre, ce qui est crucial dans de nombreuses applications en algèbre linéaire et en géométrie.
Matrice de Passage
Soient deux bases \( B = \{v_1, v_2, \ldots, v_n\} \) et \( B’ = \{v_1′, v_2′, \ldots, v_n’\} \) d’un espace vectoriel \( V \) de dimension \( n \). La matrice de passage de \( B \) à \( B’ \), notée \( P_{B \to B’} \), est une matrice carrée \( n \times n \) telle que :
\[ [x]_{B’} = P_{B \to B’} [x]_B \]
où \( [x]_B \) et \( [x]_{B’} \) sont les coordonnées du vecteur \( x \) dans les bases \( B \) et \( B’ \), respectivement. Les colonnes de \( P_{B \to B’} \) sont les coordonnées des vecteurs de la base \( B’ \) exprimés dans la base \( B \).
Exemples sur la Matrice de Passage
Supposons que \( B = \{(1, 0), (0, 1)\} \) et \( B’ = \{(1, 1), (1, -1)\} \) soient deux bases de \( \mathbb{R}^2 \). Les vecteurs de \( B’ \) exprimés dans \( B \) sont :
\[ \text{Vecteur } (1, 1) \text{ dans } B : \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \text{Vecteur } (1, -1) \text{ dans } B : \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \]
Ainsi, la matrice de passage de \( B \) à \( B’ \) est donnée par :
\[ P_{B \to B’} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \]
Propriétés
- La matrice de passage est toujours inversible. Son inverse est la matrice de passage de \( B’ \) à \( B \).
- Si \( P_{B \to B’} \) est la matrice de passage de \( B \) à \( B’ \), alors : \[ P_{B’ \to B} = (P_{B \to B’})^{-1} \]
- La composition des matrices de passage est associative : \[ P_{B » \to B} = P_{B » \to B’} \cdot P_{B’ \to B} \]
Méthodes sur la Matrice de Passage
Pour construire une matrice de passage entre deux bases \( B \) et \( B’ \) :
- Exprimez chaque vecteur de \( B’ \) en fonction des vecteurs de \( B \).
- Utilisez les coefficients obtenus pour former les colonnes de la matrice de passage.
Des outils comme NumPy ou MATLAB peuvent être utilisés pour calculer ou vérifier des matrices de passage.
Exercices pour s’entraîner
Exercice Moyenne :
- Calculez la matrice de passage de \( B \) à \( B’ \), où : \[ B = \{(1, 0), (0, 1)\}, \quad B’ = \{(2, 1), (1, 1)\} \]
- Vérifiez que la matrice de passage est inversible.
Exercice Difficile :
- Démontrez que la composition des matrices de passage est associative.
- Pour deux bases \( B \) et \( B’ \), trouvez la matrice de passage inverse de \( P_{B \to B’} \).
Tester Vos Connaissances
Ce quiz interactif vous aidera à tester votre compréhension des matrices de passage.
