La matrice Hessienne est une matrice carrée composée des dérivées secondes d’une fonction scalaire à plusieurs variables. Elle joue un rôle fondamental dans l’analyse des fonctions en plusieurs dimensions, en particulier dans l’étude des points critiques et des extrema.
Matrice Hessienne
La matrice Hessienne est définie comme la matrice des dérivées secondes partielles d’une fonction \( f(x_1, x_2, \ldots, x_n) \). Si \( f \) est deux fois différentiable, alors la matrice Hessienne est donnée par :
\[ H(f) = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_n} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \end{pmatrix} \]
La matrice Hessienne permet d’étudier la courbure locale d’une fonction en un point donné.
Exemples sur la Matrice Hessienne
Considérons la fonction \( f(x, y) = x^2 + xy + y^2 \). La matrice Hessienne de \( f \) est donnée par :
\[ H(f) = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \]
Cette matrice décrit la courbure de \( f \) dans son domaine.
Propriétés
- Si la fonction \( f \) est deux fois continûment différentiable, alors la matrice Hessienne est symétrique.
- Les valeurs propres de la matrice Hessienne permettent de déterminer la nature d’un point critique : minimum, maximum ou point selle.
- La matrice Hessienne est un outil essentiel pour les tests de concavité et convexité.
Méthodes sur la Matrice Hessienne
Pour calculer la matrice Hessienne :
- Identifiez les dérivées partielles de la fonction \( f \).
- Calculez toutes les dérivées secondes partielles.
- Organisez ces dérivées dans une matrice selon l’ordre des variables.
Vous pouvez utiliser des outils tels que WolframAlpha ou MATLAB pour faciliter les calculs.
Exercices pour s’entraîner
Exercice Moyenne :
- Calculez la matrice Hessienne de la fonction \( f(x, y) = 3x^2 + 2xy + y^2 \).
- Déterminez si le point \((0, 0)\) est un extremum local pour la fonction \( g(x, y) = x^3 – 3xy^2 \).
Exercice Difficile :
- Prouvez que la matrice Hessienne est symétrique pour toute fonction \( f(x, y) \) deux fois différentiable.
- Pour la fonction \( h(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 – 2xy – 2xz – 2yz \), trouvez la matrice Hessienne et analysez sa positive-définie.
Tester Vos Connaissances
Ce quiz vous permettra de vérifier votre compréhension de la matrice Hessienne et ses applications.
