Une fonction monotone est une fonction mathématique qui conserve un ordre défini, soit croissant, soit décroissant, sur un intervalle donné. Les fonctions monotones jouent un rôle crucial dans l’analyse mathématique et les applications liées à l’étude des séries et des suites.
Fonction monotone
Une fonction \( f : I \to \mathbb{R} \) définie sur un intervalle \( I \) est dite monotone si elle satisfait l’une des conditions suivantes :
- Croissante : Pour tous \( x_1, x_2 \in I \), si \( x_1 \leq x_2 \), alors \( f(x_1) \leq f(x_2) \).
- Décroissante : Pour tous \( x_1, x_2 \in I \), si \( x_1 \leq x_2 \), alors \( f(x_1) \geq f(x_2) \).
La notion de monotonie peut être généralisée aux fonctions strictement croissantes ou décroissantes, où les inégalités deviennent strictes.
Exemples sur la Fonction monotone
Voici quelques exemples concrets :
- La fonction linéaire \( f(x) = 3x + 2 \) est strictement croissante sur \( \mathbb{R} \).
- La fonction \( f(x) = -x \) est strictement décroissante sur \( \mathbb{R} \).
- La fonction constante \( f(x) = 5 \) est une fonction monotone (croissante et décroissante).
Propriétés
Les fonctions monotones possèdent des propriétés importantes qui facilitent leur analyse :
- Limites : Une fonction monotone sur un intervalle borné admet une limite finie à chaque extrémité de l’intervalle.
- Dérivabilité : Si une fonction monotone est dérivable, sa dérivée est non négative (croissante) ou non positive (décroissante) sur l’intervalle.
- Inversibilité : Une fonction strictement monotone est inversible, et sa fonction inverse est également monotone.
Ces propriétés permettent de simplifier de nombreux calculs dans l’analyse et la résolution d’équations.
Méthodes
Pour déterminer si une fonction est monotone, les étapes suivantes peuvent être suivies :
- Calculez la dérivée \( f'(x) \) si la fonction est dérivable.
- Étudiez le signe de \( f'(x) \) sur l’intervalle considéré :
- Si \( f'(x) > 0 \), la fonction est strictement croissante.
- Si \( f'(x) < 0 \), la fonction est strictement décroissante.
- Si \( f'(x) = 0 \), la fonction est constante sur cet intervalle.
Par exemple, pour \( f(x) = x^2 \), la dérivée est \( f'(x) = 2x \) :
- Pour \( x > 0 \), \( f'(x) > 0 \), donc \( f(x) \) est croissante.
- Pour \( x < 0 \), \( f'(x) < 0 \), donc \( f(x) \) est décroissante.
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