La Formule de Leibniz pour les fonctions d’ordre \( n \) généralise la dérivation de produits ou de combinaisons de fonctions différentiables. Cette formule est essentielle pour aborder des problèmes complexes en calcul différentiel.
La Formule de Leibniz pour les fonctions d’ordre \( n \)
Dans le cas général, pour \( n \)-ième dérivée du produit de deux fonctions différentiables \( u(x) \) et \( v(x) \), la Formule de Leibniz s’exprime comme suit :
\[ (uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)} \]
Ici :
- \( u^{(k)} \) est la \( k \)-ième dérivée de \( u(x) \).
- \( v^{(n-k)} \) est la \( (n-k) \)-ième dérivée de \( v(x) \).
- \( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) est le coefficient binomial.
Cette formule est particulièrement utile dans les développements en séries et dans l’analyse des équations différentielles.
Exemples sur la Formule de Leibniz pour les fonctions d’ordre \( n \)
Voici quelques exemples pratiques :
\[ (uv)^{(3)} = \sum_{k=0}^3 \binom{3}{k} \sin^{(k)}(x) \cos^{(3-k)}(x) \]
En utilisant les dérivées successives, le résultat est :
\((uv)^{(3)} = 6\cos^3(x) – 6\cos(x)\sin^2(x)\)
Propriétés
- Simplicité : La formule réduit le calcul de dérivées complexes en une somme de termes binomiaux.
- Extensibilité : Elle s’applique pour des dérivées d’ordre quelconque.
- Applications : Essentielle pour les séries de Taylor et les développements asymptotiques.
Remarques
La Formule de Leibniz pour les fonctions d’ordre \( n \) est un outil puissant qui trouve des applications en physique et en ingénierie. Pour d’autres notions avancées, explorez ce lien éducatif externe.
Tester Vos Connaissances
Ce quiz interactif vous permettra de tester votre maîtrise de la Formule de Leibniz pour les fonctions d’ordre \( n \).
Répondez aux questions ci-dessous et soumettez vos réponses pour vérifier votre compréhension.
Pour approfondir vos connaissances, visitez ce site complet dédié aux mathématiques.
