La Formule de Stirling est une approximation asymptotique du factoriel, utile pour estimer \( n! \) lorsque \( n \) est grand.
Formule de Stirling
La formule de Stirling s’exprime par :
\[
n! \approx \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n
\]
Cette approximation devient plus précise à mesure que \( n \) augmente.
Exemples sur la Formule de Stirling
Approximons \( 10! \) en utilisant la formule de Stirling :
\[ 10! \approx \sqrt{2\pi \times 10} \left(\frac{10}{e}\right)^{10} \approx \sqrt{62.8319} \times \left(3.6788\right)^{10} \approx 7.925 \times 60411.9 \approx 478,001 \] La valeur réelle de \( 10! \) est 3,628,800, montrant que pour de petits \( n \), l’approximation est moins précise.Propriétés
- Améliore la compréhension de la croissance rapide des factoriels
- Utilisée dans l’analyse asymptotique
- Base de nombreuses démonstrations en combinatoire et en probabilité
Remarques
La formule de Stirling est essentielle dans les domaines nécessitant des approximations de factoriels, tels que la théorie des nombres et la physique statistique.
Exercices Interactifs
| Question | Réponse |
|---|---|
| Approximez \( 20! \) en utilisant la formule de Stirling | \( \approx 2.4329 \times 10^{18} \) |
| Quelle est la limite de \( \frac{n!}{\sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n} \) lorsque \( n \) tend vers l’infini ? | 1 |
| Vrai ou faux : La formule de Stirling est exacte pour tous les \( n \) | Faux |
| Utilisez la formule de Stirling pour estimer \( 50! \) | \( \approx 3.0414093 \times 10^{64} \) |
| Pourquoi la formule de Stirling est-elle plus précise pour de grands \( n \) ? | Parce que les termes d’erreur deviennent négligeables à mesure que \( n \) augmente. |
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