La Formule d’espérance définit la moyenne pondérée des valeurs possibles d’une variable aléatoire, reflétant sa tendance centrale.
Formule d’espérance
La formule d’espérance pour une variable aléatoire discrète \( X \) est donnée par :
\[
E[X] = \sum_{i} x_i P(X = x_i)
\]
Pour une variable aléatoire continue, elle est définie par :
\[
E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f_X(x) \, dx
\]
où \( f_X(x) \) est la fonction de densité de \( X \).
Exemples sur la Formule d’espérance
Supposons une variable aléatoire \( X \) qui prend les valeurs 1, 2, 3 avec probabilités respectives 0.2, 0.5, 0.3. Alors :
\[ E[X] = 1 \times 0.2 + 2 \times 0.5 + 3 \times 0.3 = 0.2 + 1 + 0.9 = 2.1 \]Propriétés
- L’espérance d’une constante \( c \) est \( c \)
- L’espérance est linéaire : \( E[aX + bY] = aE[X] + bE[Y] \)
- Non dépendante des unités de mesure
Remarques
L’espérance est une notion centrale en probabilités, utilisée pour prévoir les résultats moyens sur le long terme.
Exercices Interactifs
| Question | Réponse |
|---|---|
| Calculer \( E[X] \) si \( X \) prend les valeurs 0, 1, 2 avec probabilités 0.3, 0.4, 0.3 | 1.0 |
| Déterminez \( E[aX + b] \) si \( E[X] = 5 \), \( a = 2 \), \( b = 3 \) | 13 |
| Vrai ou faux : \( E[X + Y] = E[X] + E[Y] \) pour toutes variables aléatoires \( X \) et \( Y \) | Vrai |
| Si \( E[X] = 4 \) et \( \text{Var}(X) = 9 \), calculez \( E[3X] \) | 12 |
| Pour une variable continue avec \( f_X(x) = 2x \) pour \( x \) dans [0,1], calculez \( E[X] \) | \(\int_{0}^{1} x \cdot 2x \, dx = \frac{2}{3} \) |
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