La Formule de Taylor-Young est une extension de la formule de Taylor qui fournit une estimation du reste sous certaines conditions.
Formule de Taylor-Young
La formule de Taylor-Young s’exprime comme suit :
\[
f(x) = f(a) + f'(a)(x – a) + \frac{f »(a)}{2!}(x – a)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x – a)^n + R_n(x)
\]
où le reste \( R_n(x) \) est donné par :
\[
R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x – a)^{n+1}
\]
pour un certain \( c \) entre \( a \) et \( x \).
Exemples sur la Formule de Taylor-Young
Considérons la fonction \( f(x) = \ln(1+x) \) autour de \( a = 0 \) jusqu’au premier ordre :
\[ \ln(1+x) \approx x – \frac{x^2}{2} + R_1(x) \] où le reste est : \[ R_1(x) = \frac{f »(c)}{2!}x^2 = -\frac{1}{2(1+c)^2}x^2 \] pour un certain \( c \) entre 0 et \( x \).Propriétés
- Estimation du reste pour garantir la précision de l’approximation
- Nécessite que la fonction soit suffisamment différentiable
- Permet d’établir des bornes sur l’erreur d’approximation
Remarques
La formule de Taylor-Young est cruciale pour l’analyse de la convergence des séries de Taylor et pour l’évaluation des erreurs dans les approximations polynomiales.
Exercices Interactifs
| Question | Réponse |
|---|---|
| Déterminez le reste \( R_2(x) \) pour la série de Taylor de \( e^x \) autour de 0 jusqu’au deuxième ordre | \( \frac{e^c}{3!}x^3 \), \( c \) entre 0 et \( x \) |
| Calculer le reste pour \( \sin(x) \) après le terme \( x \) | \( -\frac{\cos(c)}{2!}x^2 \), \( c \) entre 0 et \( x \) |
| Quelle condition doit satisfaire \( f \) pour appliquer la formule de Taylor-Young ? | Suffisante différentiabilité jusqu’à l’ordre \( n+1 \) |
| Approximez \( \sqrt{1+x} \) autour de \( a=0 \) jusqu’au premier ordre et donnez le reste | \( 1 + \frac{x}{2} + R_1(x) \), où \( R_1(x) = -\frac{x^2}{8(1+c)^{3/2}} \) |
| Si \( f^{(n+1)}(c) \leq M \) pour tout \( c \) dans l’intervalle, exprimez une borne pour \( |R_n(x)| \) | \( |R_n(x)| \leq \frac{M}{(n+1)!}|x – a|^{n+1} \) |
Pour approfondir vos compétences, visitez :
Visitez AllMathLevels.comPlus de détails sur la série de Taylor sur Wikipedia.
