La Formule de Taylor est une méthode d’approximation des fonctions différentiables autour d’un point.
Formule de Taylor
La formule de Taylor d’ordre \( n \) pour une fonction \( f \) en un point \( a \) est donnée par :
\[
f(x) = f(a) + f'(a)(x – a) + \frac{f »(a)}{2!}(x – a)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x – a)^n + R_n(x)
\]
où \( R_n(x) \) est le reste.
Exemples sur la Formule de Taylor
Approximons \( e^x \) autour de \( a = 0 \) jusqu’au second ordre :
\[ e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2} \] Ce polynôme de Taylor fournit une approximation de \( e^x \) proche de \( x = 0 \).Propriétés
- Approximation locale : précise près de \( a \)
- Utilisation des dérivées successives
- Possibilité d’augmenter l’ordre pour améliorer la précision
Remarques
La série de Taylor peut converger vers la fonction originale sous certaines conditions de régularité.
Exercices Interactifs
| Question | Réponse |
|---|---|
| Donner le polynôme de Taylor d’ordre 3 de \( \sin(x) \) autour de \( a = 0 \) | \( x – \frac{x^3}{6} \) |
| Approximez \( \ln(1+x) \) autour de \( a = 0 \) jusqu’au premier ordre | \( x \) |
| Calculer \( f »(a) \) si \( f(x) = e^x \) | \( e^a \) |
| Quel est le terme général du polynôme de Taylor de \( f(x) \) ? | \( \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x – a)^n \) |
| Vrai ou faux : La série de Taylor de \( \cos(x) \) converge pour tout \( x \) | Vrai |
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