Le Théorème de Bolzano-Weierstrass est une pierre angulaire de l’analyse réelle, établissant des résultats fondamentaux sur les suites bornées et les points d’accumulation.

Théorème de Bolzano-Weierstrass

Le Théorème de Bolzano-Weierstrass affirme que toute suite bornée dans \(\mathbb{R}^n\) possède une sous-suite convergente. Mathématiquement, cela signifie : \[ \text{Si } (x_n) \text{ est bornée, alors il existe une sous-suite } (x_{n_k}) \text{ telle que } x_{n_k} \to L \text{ (dans } \mathbb{R}^n\text{).} \] Ce théorème repose sur les propriétés fondamentales de la compacité dans l’espace euclidien.

Exemples sur Théorème de Bolzano-Weierstrass

Prenons une suite bornée \((x_n) = (-1)^n \cdot \frac{1}{n}\). Elle est bornée par \(-1 \leq x_n \leq 1\). En appliquant le Théorème de Bolzano-Weierstrass, on trouve une sous-suite convergente : \[ x_{2n} = \frac{1}{2n}, \quad \text{qui converge vers } 0. \] Un autre exemple classique concerne une suite de points dans un carré \([0, 1] \times [0, 1]\). Le théorème garantit qu’une sous-suite convergente existe en raison de la borne des coordonnées.

Propriétés

  • Suites bornées : Le théorème ne s’applique qu’aux suites bornées, qui doivent rester dans une région finie de l’espace.
  • Sous-suites convergentes : Une sous-suite convergente peut exister sans que la suite complète converge.
  • Lien avec la compacité : Ce théorème est une conséquence directe du fait que les ensembles fermés et bornés dans \(\mathbb{R}^n\) sont compacts.

Remarques

Le Théorème de Bolzano-Weierstrass est essentiel en analyse réelle et sert de base à de nombreux résultats, comme le théorème des points fixes et les tests de convergence des séries.

Exercices Interactifs

Question Réponses possibles
1. Quelle est la condition principale pour appliquer le théorème ? A. La suite doit être bornée.
2. Que garantit le théorème ? B. Une sous-suite convergente existe.
3. Le théorème s’applique-t-il dans \(\mathbb{R}^3\) ? C. Oui.
4. Que signifie « compact » en analyse réelle ? D. Fermé et borné.
5. Est-ce applicable aux suites non bornées ? E. Non.

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