Le Théorème fondamental de l’analyse est l’un des concepts les plus fondamentaux en mathématiques, reliant le calcul différentiel et intégral. Il fournit une compréhension claire du lien entre les dérivées et les intégrales, ce qui est essentiel dans de nombreuses applications scientifiques et techniques.
Théorème de Théorème fondamental de l’analyse
Le Théorème fondamental de l’analyse se divise en deux parties :
- **Première partie :** Si \(f\) est une fonction continue sur un intervalle \([a, b]\), et si \(F\) est une primitive de \(f\), alors : \[ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) – F(a) \]
- **Deuxième partie :** Si \(F(x)\) est définie comme une intégrale d’une fonction continue \(f\), alors \(F(x)\) est dérivable et sa dérivée est \(f(x)\) : \[ F'(x) = f(x) \]
Ces deux parties montrent comment les dérivées et les intégrales sont inverses l’une de l’autre.
Exemples sur Théorème fondamental de l’analyse
Considérons un exemple simple pour illustrer le théorème :
Soit \(f(x) = 2x\) sur l’intervalle \([0, 3]\). Une primitive de \(f\) est \(F(x) = x^2\). Par la première partie du théorème :
\[ \int_0^3 2x \, dx = F(3) – F(0) = 3^2 – 0^2 = 9. \]Ce calcul montre comment l’intégration et la différentiation sont interconnectées.
Propriétés
- Continuité : La fonction intégrée \(f(x)\) doit être continue sur l’intervalle considéré.
- Différentiabilité : Si \(F(x)\) est une primitive, elle est différentiable sur l’intervalle et sa dérivée est \(f(x)\).
- Unicité : La primitive est unique à une constante près.
Remarques
Il est important de noter que le Théorème fondamental de l’analyse repose sur des hypothèses précises, notamment la continuité de \(f(x)\). Pour les fonctions avec des discontinuités, des adaptations doivent être considérées.
Ce théorème est également essentiel dans des domaines tels que la physique, l’économie et les statistiques, où les intégrales définies sont couramment utilisées.
Exercices Interactifs
Voici quelques exercices pour pratiquer le Théorème fondamental de l’analyse :
| Question | Réponse |
|---|---|
| 1. Trouvez la valeur de \(\int_1^4 (3x^2) \, dx\). | 36 |
| 2. Si \(F(x) = \int_0^x (2t) \, dt\), que vaut \(F'(x)\) ? | 2x |
| 3. Calculez \(\int_0^2 (x^3) \, dx\). | 4 |
| 4. Trouvez une primitive de \(f(x) = 5x^4\). | \(F(x) = x^5 + C\) |
| 5. Déterminez la valeur de \(\int_1^3 (4x + 1) \, dx\). | 18 |
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