La Matrice hessienne est un outil fondamental en analyse mathématique, essentiel pour étudier la courbure des fonctions multivariables. Elle joue un rôle crucial dans l’optimisation et l’étude des points critiques, offrant une profondeur d’analyse inégalée.
Définition de la Matrice hessienne
La Matrice hessienne d’une fonction réelle de plusieurs variables est une matrice carrée de ses dérivées secondes partielles. Pour une fonction \( f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} \), la matrice hessienne \( H \) est définie par :
$$ H = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} & \dots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_n} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \dots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_2} & \dots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \end{bmatrix} $$
Théorèmes Essentiels sur la Matrice hessienne
Un des théorèmes clés concernant la Matrice hessienne est le critère de positivité définie, qui permet de déterminer la nature des points critiques :
Théorème : Si la matrice hessienne \( H \) d’une fonction \( f \) au point \( \mathbf{a} \) est définie positive, alors \( \mathbf{a} \) est un point de minimum local. Si \( H \) est définie négative, \( \mathbf{a} \) est un point de maximum local.
Exercices sur la Matrice hessienne
| Question | Réponse |
|---|---|
| 1. Calculez la matrice hessienne de la fonction \( f(x, y) = x^2 + y^2 \). | $$ H = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} $$ |
| 2. Déterminez si le point critique de \( f(x, y) = x^3 – 3xy^2 \) est un maximum, un minimum ou un point selle. | Le point critique est un point selle. |
| 3. Pour la fonction \( f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 \), quelle est la forme de sa matrice hessienne? | $$ H = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} $$ |
Exemples Pratiques de la Matrice hessienne
Considérons la fonction \( f(x, y) = 3x^2 + 2xy + y^2 \). La matrice hessienne est :
$$ H = \begin{bmatrix} 6 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} $$
En analysant les valeurs propres de \( H \), on peut déterminer que la fonction présente un minimum local en ce point. Pour plus d’informations sur l’analyse des matrices hessiennes, consultez cet article Wikipedia.
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