Le Théorème des Gendarmes est un outil incontournable en analyse mathématique, facilitant l’étude des limites de fonctions encadrées.
Définition du Théorème des Gendarmes
Le Théorème des Gendarmes affirme que si une fonction \( f(x) \) est encadrée par deux fonctions \( g(x) \) et \( h(x) \) de telle sorte que \( g(x) \leq f(x) \leq h(x) \) pour tout \( x \) dans un voisinage de \( a \), et si :
\[
\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L
\]
Alors :
\[
\lim_{x \to a} f(x) = L
\]
Propriétés
- Encadrement : Permet de déterminer la limite d’une fonction en l’encadrant entre deux fonctions dont les limites sont connues.
- Simplicité : Facilite le calcul des limites sans nécessiter des techniques de calcul complexes.
- Applications Diversifiées : Utilisé dans l’analyse des séries, des intégrales et des fonctions continues.
Exercices
| Question | Réponse |
|---|---|
| Soit \( f(x) = x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) \) pour \( x \neq 0 \) et \( f(0) = 0 \). Utilisez le Théorème des Gendarmes pour déterminer \( \lim_{x \to 0} f(x) \). | On sait que \( -x^2 \leq x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) \leq x^2 \). Comme \( \lim_{x \to 0} -x^2 = 0 \) et \( \lim_{x \to 0} x^2 = 0 \), par le Théorème des Gendarmes, \( \lim_{x \to 0} f(x) = 0 \). |
| Déterminez la limite de \( f(x) = \frac{\sin(x)}{x} \) lorsque \( x \) tend vers 0 en utilisant le Théorème des Gendarmes. | Encadrons \( \sin(x) \) entre \( x – \frac{x^3}{6} \) et \( x \). Divisant par \( x \), on obtient \( 1 – \frac{x^2}{6} \leq \frac{\sin(x)}{x} \leq 1 \). En faisant tendre \( x \) vers 0, les deux bornes tendent vers 1. Donc, \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \). |
| Utilisez le Théorème des Gendarmes pour trouver \( \lim_{x \to \infty} \frac{2x + 3}{5x + 4} \). | Divisons numérateur et dénominateur par \( x \): \( \frac{2 + \frac{3}{x}}{5 + \frac{4}{x}} \). Comme \( x \to \infty \), \( \frac{3}{x} \to 0 \) et \( \frac{4}{x} \to 0 \). Donc, \( \lim_{x \to \infty} \frac{2x + 3}{5x + 4} = \frac{2}{5} \). |
| Soit \( f(x) = \sqrt{x^2 + 1} – x \). Déterminez \( \lim_{x \to \infty} f(x) \) en utilisant le Théorème des Gendarmes. | On a \( \sqrt{x^2 + 1} – x = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1} + x} \). Encadrons \( \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1} + x} \) entre 0 et \( \frac{1}{2x} \). Comme \( \lim_{x \to \infty} 0 = 0 \) et \( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{2x} = 0 \), par le Théorème des Gendarmes, \( \lim_{x \to \infty} f(x) = 0 \). |
| Calculez \( \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{\sin(x)} \) en utilisant le Théorème des Gendarmes. | On sait que \( -|x^3| \leq x^3 \leq |x^3| \). Divisant par \( \sin(x) \) et sachant que \( \sin(x) \approx x \) près de 0, on obtient \( -x^2 \leq \frac{x^3}{\sin(x)} \leq x^2 \). Comme \( \lim_{x \to 0} -x^2 = 0 \) et \( \lim_{x \to 0} x^2 = 0 \), par le Théorème des Gendarmes, \( \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{\sin(x)} = 0 \). |
| Déterminez \( \lim_{x \to 2} \frac{x^2 – 4}{x – 2} \) en utilisant le Théorème des Gendarmes. | Simplifions l’expression : \( \frac{x^2 – 4}{x – 2} = x + 2 \). Donc, \( \lim_{x \to 2} \frac{x^2 – 4}{x – 2} = 4 \). |
Exemples
Considérons la fonction \( f(x) = x^3 \). Encadrons \( f(x) \) entre \( -|x|^3 \) et \( |x|^3 \). Comme \( \lim_{x \to 0} -|x|^3 = 0 \) et \( \lim_{x \to 0} |x|^3 = 0 \), par le Théorème des Gendarmes, \( \lim_{x \to 0} f(x) = 0 \).
Un autre exemple est la fonction \( g(x) = \frac{\sin(x)}{x} \) pour \( x \neq 0 \). On sait que \( -1 \leq \sin(x) \leq 1 \), donc \( -\frac{1}{|x|} \leq \frac{\sin(x)}{x} \leq \frac{1}{|x|} \). En faisant tendre \( x \) vers 0, les bornes tendent vers \( \pm\infty \), ce qui montre que le Théorème des Gendarmes ne s’applique pas directement ici. Cependant, en utilisant une meilleure estimation, on peut conclure que \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \).
Remarques
Le Théorème des Gendarmes est particulièrement utile lorsqu’une fonction est difficile à évaluer directement, mais peut être encadrée par des fonctions dont les limites sont plus accessibles. Il est crucial de choisir des fonctions d’encadrement appropriées pour appliquer efficacement ce théorème.
Pour approfondir vos connaissances, consultez des ressources externes telles que le Théorème des Gendarmes sur Wikipedia ou explorez des cours détaillés disponibles sur Khan Academy.
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