Le théorème de convergence dominée est une pierre angulaire de l’analyse mathématique. Découvrez comment l’appliquer efficacement grâce à ce guide structuré.
Définition du Théorème de Convergence Dominée
Le théorème de convergence dominée affirme que si une suite de fonctions mesurables \( (f_n) \) converge presque partout vers une fonction \( f \), et si une fonction intégrable \( g \) domine \( |f_n| \) pour tout \( n \), alors :
\[
\int_X f_n(x) \, d\mu \to \int_X f(x) \, d\mu
\]
où \( \mu \) est une mesure positive.
Propriétés Clés du Théorème de Convergence Dominée
- Dominance : La fonction \( g \) doit satisfaire \( |f_n(x)| \leq g(x) \) pour tout \( n \).
- Convergence : \( f_n \to f \) presque partout.
- Mesurabilité : Les fonctions \( f_n \) et \( g \) doivent être mesurables.
Exercices sur le Théorème de Convergence Dominée
| Question | Réponse |
|---|---|
| Montrer que \( f_n(x) = \frac{\sin(nx)}{n} \) satisfait les hypothèses du théorème si \( x \in [0, \pi] \). | Appliquer la dominance par \( g(x) = 1 \). |
| Vérifiez si \( f_n(x) = x^n \) converge pour \( x \in [0, 1] \). | Identifier un \( g(x) \) adapté à la domination. |
Exemples d’Application
Prenons \( f_n(x) = \frac{1}{n} e^{-x^2} \). Ici, \( g(x) = e^{-x^2} \) domine \( f_n(x) \) car :
\[
\frac{1}{n} e^{-x^2} \leq e^{-x^2}, \quad \forall n \geq 1.
\]
Vous pouvez en apprendre davantage sur les applications pratiques en consultant cet article détaillé sur Wikipedia.
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